RSA алгоритм ашиглах нь

zwxx2y7d-1365487161Дээр энэ алгоритмын тухай товч дурдаж байсан билээ (Аварга анхны тоо). Одоо энэ алгоритмын хэрэглээнээс товч сонирхуулья.

Сонирхолтой байх үүднээс бид Бат болон Дулмаа гэсэн хоорондоо огт уулзалдах боломжгүй байгаа боловч бие биедээ дурласан хосуудыг авч үзье.

Дулмаа Батад сэтгэлээ илчлэхийг хүссэн бөгөөд үүнийгээ зөвхөн Батад мэдүүлэхийг хүсчээ. Тиймээс тэр хайрын захиагаа шифрлээд Батруу илгээв. Гэтэл Батад шифрийг тайлах түлхүүр байхгүй бол энэ нь ямар ч хэрэггүй зүйл болно. Тэгэхээр Дулмаа дахиад Батруу түлхүүрийг явуулсан гэвэл магадгүй энэ нь Батын хартай хуучин найз охин Цэцгээд мэдэгдэх аюултай.

За тэгвэл энэ асуудлыг арай өөр аргаар шийдэх гээд үзье. Бат Дулмаагаас нууц захиа ирнэ гэдгийг мэддэг гэж үзье. Тиймээс тэр бүгд нэг түлхүүрээр онгойдог хайрцагнууд худалдаж авав. Тэгээд тэр энэ хайрцагнуудаа бүгдийг нь онгойлгоод нийтэд ил тавьсан ба түлхүүрээ өөртөө сайн хадгалжээ. Хэрвээ Дулмаа Батруу нууц захиа бичих бол эдгээр онгорхой хайрцагнуудын нэгэнд захиагаа хийгээд цоожлоод Батруу илгээхэд болно. Энэ мэдээж аюулгүй яагаад гэвэл Батад л ганц түлхүүр байгаа учраас. Гэхдээ энэ арга нь дэндүү төвөгтэй. Нууц захиа хүлээн авах хүн нийтэд ил хайрцаг бэлдэх, хүлээн авсан захиа нь яг Дулмаагаас ирсэн үү гэх мэт асуудал гарна. Дээрхи арга бол одоо бидний хэрэглэдэг имайлийн нууцлалтай зарчимын хувьд адил бөгөөд бидний имайл Цэцгээгээр хянуулж байгаа юу гэдгийг мэдэж чадахгүй.

Тиймээс RSA алгоритмын аргыг үзье.

Энэ арга нь доорхи 2 баримтад үндэслэнэ:

  1. Компьютер 2 том анхны тооны үржвэрийг хялбараар олж чадна. (google энийг дор нь хийж өгч чадна)
  2. Харин маш том тоог компьютерт оруулахад түүний үржигдэхүүн болж байгаа 2 том анхны тоог олж чадахгүй гацдаг (хангалттай их хугацаа зарцуулна).

Дээрхийг “trapdoor” гэдэг. Өөрөөр хэлбэл нэг талдаа амархан (үржүүлэх) боловч нөгөө талдаа (үржигдэхүүнийг олох) маш хүнд.

RSA нь доорхи зарчмаар ажиллана:

Эхлээд бид маш том p, q гэсэн 2 анхны тоог сонгоно (сонгосон 2 анхны тоо тус бүр дор хаяж 100 оронтой байх хэрэгтэй).  Дараа нь энэ 2 анхны тооны үржвэр болох N олно. Мөн (p-1)(q-1) тэй харилцан анхны байхаар e тоог сонгоно. (N,e) хос бол бидний нийтэд ил түлхүүр юм. Энд байгаа N-ийг дэлхийн хамгийн хурдан компьютер ч үржвэрт задлахад хангалттай их хугацаа зарцуулах ёстой.

Энэ аргаа бүр сайн ойлгомжтой болгох үүднээс Бат, Дулмаа 2 дээрээ авч үзье. Тооцоололыг хялбар байлгах үүднээс маш бага тоонуудыг сонгож авлаа.

Дулмаа Батаас захиа ирнэ гэж мэдэж байгаа учраас Дулмаа эхлээд 2 анхны тоо сонгов. Тэр p=17, q=29 гэж сонгосон гэж үзье. (бодит байдал дээр асар томыг сонгох ёстой). Дараа нь тэр  үржвэр N=p*q=17*29=493 гэж олов. Одоо тэр e тоог сонгох ёстой. (p-1)*(q-1) = 448 тул 448 тэй харилцан анхны 5-ыг тэр e-ээр сонголоо. Ингээд Дулмаа N=493, e=5 гэж Батруу явуулав.

Одоо Бат (493, 5)-ыг ашиглаад өөрийн захиагаа шифрлэх хэрэгтэй. Тэр Дулмааруу өөрийн насаа 42 гэж явуулахаар болсон гэе. Үүний тулд Бат 42-оо 5 зэрэгт дэвшүүлээд гарсан тоог 493т хуваагаад үлдэгдлийг олоход болно. 42^5=42 x 42 x 42 x 42 x 42 = 130,691,232 ба 493т хуваахад үлдэгдэл 383 гарна. Тиймээс Батын Дулмааруу явуулах шифр 383 болно.

Дулмаа Батаас 383 гэж хүлээн авсан ба үүнийг тайлж уншихын тулд эхлээд тэр d гэсэн тоог олох ёстой. Энэ d гэсэн тоо нь ямар тоо вэ гэхээр: e*d=(p-1)*(q-1)*z+1 байхаар олно (e тоог (p-1)(q-1) тэй харилцан анхны байхаар сонгосон тул d заавал олдоно).  e=5, (p-1)*(q-1) = 448 гэдгийг санавал d=269 гэж гарна (5*269=448*3+1). Одоо 383 гэдгийг тайлж уншихдаа Дулмаа 383-ыг d буюу 269 зэрэгт дэвшүүлээд гарсан тоогоо N=493т хуваахад гарах үлдэгдлийг олоход болно. Мэдээж энэ үлдэгдэл 42 гарна.

RSA нь нийтэд ил түлхүүртэй кодчлолын (public key cryptography) одоо байгаа хамгийн  сайн арга билээ.

Мэдэгдэж буй хамгийн том анхны тоо- 48 дахь Мерсенний анхны тоо!!!

Мэдэгдэж буй хамгийн том анхны тоо- 48 дахь Мерсенний анхны тоо!!!

1 сарын 25нд GIMPS (Great Internet Mersenne Prime Search) – ын үр бүтээмж ихтэй ажилтан Күртис Күүпер 48 дахь Мерсенний анхны тоо болох 2-ийн 57,885,161 зэрэгтээс нэгийг хассан 17,425,161 оронтой тоог олжээ. Энэ нь 4 жилийн өмнө олсон GIMPS-ын 12,978,189 оронтой анхны тооны рекордыг эвдлээ.

Др. Күүпер нь Миссуригийн Төв Их сургуулийн (University of Central Missouri) профессор юм байна. Саяны нээлт нь Др. Күүпер болон түүний их сургуулийх нь 3 дахь рекорд болжээ. Тэдний анхны нээлт 2005 онд байсан бол хоёр дахь нь 2006 онд гарч байв. 2008 онд UCLA дэх компьютер тэдний рекордыг эвдсэн юм. Др. Күүпер болон Миссуригийн Төв Их сургуулийн саяны нээлт гартал UCLA рекордыг эзэмшиж байжээ.

Мерсенний анхны тоонууд нь маш ховор тоонууд юм, одоогоор 48 ширхэг л олдоод байна. GIMPS (Great Internet Mersenne Prime Search) нь 1996 онд байгуулагдсан бөгөөд сүүлийн 14н Мерсенний анхны тоонуудыг олжээ. Мерсенний анхны тоонууд нь 350 жилийн өмнө эдгээр тоог судалж байсан Францын лам Марин Мерсенний нэрээр нэрлэгдсэн байна.

Шинэ тоог анхны эсэхийг шинжихэд Миссуригийн Төв Их сургуулийн компьютер 39 өдөр зогсолтгүй ажиллажээ. Баталгааны явцад ямар нэгэн асуудал үүсээгүй бөгөөд өөр өөр төхөөрөмж дээр ялгаатай программ хэрэглэн баталгаажуулсан байна. Жерри Халлет CUDALucas- ыг NVidia GPU дээр 3.6 өдөрт баталгаажуулсан бол Др. Жеф Гилхрист стандарт GIMPS программаар Intel i7 CPU дээр 4.5 өдөрт шалгажээ. Сүүлд нь Серге Баталов Эрнст Майерын программыг хэрэглэн 32 цөмтэй сервер дээр 6 өдөрт шалгаж шинэ хамгийн том бас Мерсенний тоо гэдгийг баталлаа.

Аварга анхны тоо

Анхны тоонууд (зөвхөн өөртөө болон нэгд хуваагддаг нэгээс их бүхэл тоо) бол математикийг ойлгох хамгийн нарийн чанад, ид шидийн арга зам юм. Эвклидийн анхны тоонууд төгсгөлгүй олон бий гэсэн баталгаа нь хамгийн энгийн бас хамгийн эртний баталгаа билээ. Өнгөрсөн сард Куртис Күүпер Эвклидийн баталгаанд дөхөхөөр 2-ийн 57,885,161 зэрэгтээс нэгийг хассан тоо нь анхны тоо гэдгийг зарлалаа. Энэ шинэ тоо нь 17,425,161 оронтой, компьютерт шивэхэд 22,45 мегабайт зай эзэлнэ.

Математикчид өгөгдсөн тоог анхны тоо эсэхийг шинжилэхээс урьд, анхны тоонуудын статистик тархалтыг сайтар судалжээ. Энэ нь 19-р зууны математикчидийн гол цөм асуудал байв. Эйлер, Лежендр, Дирихле, Гаусс, Риманн гэх мэт олон математикийн гиантууд энэ тархалтыг судлахаар ажилласан бөгөөд энэ нь одоо “Анхны тооны теорем” гэсэн нэрээр бидэнд мэдэгдэж байна. Эдгээр олон оролдлого хичээл зүтгэл дотроос нэг онцгой тэмдэглүүштэй зүйл бол дискрет асуудал (бүхэл тоонууд хэрхэн ажилладаг) болон аналитик асуудал (бодит тоон олонлог дээрхи тасралтгүй функцүүд хэрхэн үйлчилдэг) хоорондын холбоо хамаарал юм.

Хэдэн арван жилийн турш анхны тоонуудын асуудал нь математикийн оюун санааны болоод гоо сайхны цөм асуудал байсан боловч тийм ч практик ач холбогдолтой байсангүй. Гэвч 1977 онд MIT-йн залуу профессоруудын гурвал Рон Ривест, Ади Шамир болон Леонард Адельман нар шинэ криптографийн (кодчлол) алгоритм боловсруулж хэвлүүлснээр анхны тооны практик ач холбогдол асар их болж өөрчлөгджээ. Тэдний санаа үнэхээр хувьсгал хийсэн санаа байв. RSA (Rivest, Shamir, Adelman) алгоритм нь анхны public-key (нийтэд ил түлхүүртэй) кодчлол бөгөөд энэ нь мэдээг шифрлэхэд амар боловч түүнийг тайлахад хэцүү ба орчин үеийн интернет худалдааны үндэс суурь юм. Энэ алгоритм нь аварга том анхны тоонууд дээр тулгуурладаг.

Эцэст нь Английн алдарт математикч Хардигийн хэлсэн үгийг санавал “математикийн маш өчүүхэн нь ч практик асар их ач тустай”.

ГРИГОРИЙ ПЕРЕЛЬМАН

643954_293839457396852_199339180_n

Дэлхийн шилдэг эрдэмтэд хэдэн арван жилийн турш толгойгоо гашилгасан Пуанкарегийн теоромийг баталсан Оросын суут математикч Григорий Перельман шинжлэх ухаанд гаргасан эүйрлэшгүй гавьяаг нь үнэлсэн сая доллараас татгалэсанаас хойш хэдэн жил өнгөрчээ. Пуанкарегийн таамаглал кь Клейгийн математикийн институт тус бүрд нь сая долларын шагнал амалсан математикийн “мянганы зорилт”-ын долоон гол зорилтын нэгд багтдаг юм. Тэрбээр энэ таамаглалыг баталсан ч шагналаас татгалзан, хэвлэлийнхэнтэй нэг ч удаа нүүр тулж байгаагүй, бусад суутнуудын адил тун өвөрмөц нэгэн. Бүх юм мөнгөөр хэмжигддэг өнөө үөд их хэмжээний мөнгөөс татгалзаж байгаа нь олон хүмүүсийн иүдийг бүлтийлгэсэн хэрэг болсон юм. Ямар баян хүн гэхээрээ ийм их мөнгөнөөс татгалздаг байна аа гэж хүн болгон дуу алдаж байв. Гэтэл тэр юуных нь баян байх вэ, ОХУ-ын Санкт-Петербург хотын хуучны байранд ээжийнхээ хамт тун эүдрүү амьдардаг ч бусад ангийн эрчүүдийн адил мөнгө, хатуу ундаа, эмэгтэйчүүд түүний сонирхлыг огтхон ч татдаггүй. Түүгээр ч үл барам орчноосоо бүрэн тусгаарлагдсан гэхэд болно. Хүмүүстэй огт харьцдаггүй, хаа нэг хажуугийн дэлгүүр рүү ээжтэйгээ хамт ордог, сахал үсээ янзалдаггүй, хумсаа ч авдаггүй нэгэн. Мөн хэзээ ч гэрлэж байгаагүй аж.

Перельмантай дэлхийн олон орны сэтгүүлчид уулзахыг хичээж, папарацциуд гэрийнх нь гадаа шөнөжин жижүүрлэн “отож” байсан ч түүний амнаас үг унагах нь битгий хэл барааг нь ч олж харж чадаагүй гэдэг. Харин Оросын нэгэн сэтгүүлч түүнээс ярилцлага аван, түүний тухай уран сайхны кино хийх болсон талаараа эөвшөөрөл авсан нь сэтгүүл зүйн салбарынхан дундаа хамгийн азтай нэгэнд тооцогдоод байгаа юм. Энэхүү сэтгүүлчийг Александр Забровский гэх бөгөөд тэрбээр Орост ажиллаж байгаад хожим нь Израйль руу яажээ. “Би Тель-Авив хотоос гагцхүү суут математикчтай уулзахын тулд Орост ирсэн. Бид Пөрельманы ээжээр дамжуулан уулзсан юм. Тэр бидэнд итгэсэн л дээ. Тэгээд энд тэндхийн сэтгүүлчдээс залхаж байгаагаа хэлсэн. Түүний өгүүлснээр Перельман сэтгүүлчдийн яагаад сая доллараас татгалзсан, хумсаа яагаад авдаггүй зэрэг шалдар булдар асуултаас залхсан. Григорий Перельман философич, суут хүн. Түүний сонирхлыг зөвхөн дэлхий дахины асуудал татдаг. Түүнтэй ярилцахад энгийнээс энгийн хүн гэдгийг нь мэдсэн. Гэтэл хэвлэлээр түүнийг “гажиг” гэж бичдэг шүү дээ. Харин сая доллараас яагаад татгалзсан бэ гэхэд “огторгуйг удирдаж чадах хүнд сая доллар юу юм бэ” гэж хариулсан хэмээн Григорий Перөльмантай ярилцсан сэтгүүлч өгүүлжээ

Ташрамд дуулгахад Григорий Перельман олон орны тагнуулынхан хараанаасаа салгадаггүй гэж Оросын тусгай албаны нэгэн төлөөлөгч сурвалжлагчид ярьж байжээ. Тэдний тайлбарлаж байгаагаар Гоигорий Ятапевич өнөөгийн дэлхийн шинжлэх ухаанаас хэдийнэ түрүүлэн алхаж яваа гэнэ. Тэрбээр ертөнцийн үүслийг ойлгоход туслах эгэл хүний төсөөлж ч чадахгүй тийм их авьяастай аж. Огторгуй дэлбэрэлтийн үед, цэгээс үүссэн, Энэ цэгийг өөрчилж болдог. Харин яаж хийхийг гагцхүү Перельман мэддэг аж. Гэтэл эндээс хэрвээ суут эрдэмтний мэдлэг амьдралд нэвтэрвэл юу болох вэ? хүн төрөлхтөнд аюул учирах уу? Ер нь огторгуйг удирдах шаардлага бидэнд бий юу? гэх мэтчилэн асуулт ар араасаа хөврөн гарна. Харин Перельман нээлтийнхээ ач холбогдлыг сайтар ойлгодог . учраас өерийгөө “Огторгуйн хүн” гэж нэрлэдэг аж. Толгойд нь байгаа асар их мэдлэг, мэдээлэл өөрт нь аюул занал учруулж болзошгүй гэдгийг ч мэддэг. Түүнийг Америкт урин өндөр цалин амлаж байсан ч Перельман эргээд эх орондоо ирж, ядуу амьдрал дундаа суут бүтээлээ гаргасаар байна. Яг л дэлхийн суут хүмүүс энгийн амьдралаар амьдарч байсан шиг…

Математик үйл явдалуудын цаг тоолол

Математик үйл явдалуудын цаг тоолол

МЭӨ 18000 Ишанго Бон, Зайр (мэдэгдэж буй анхны тооцоолол)

МЭӨ 4000 Ойрхо Дорнодод тооцон бүртгэл хэрэглэгдэв

МЭӨ 3400-3200 Цифрийн тэмдэглэгээний хөгжилт, Шумер (хойд Ирак)

МЭӨ 2050 Анхны байршил-утгат жартын тоолын системийн баталгаажилт, Шумер (хойд Ирак)

МЭӨ 1850-1650 Хуучин Вавилоны математикчид

МЭӨ 1650 Ринд эртний бичмэл (эртний Египетийн хамгийн сайн хадгалагдсан  математикийн эртний бичмэл)

МЭӨ 1400-1300 Аравтын тооллын систем, Хятад (Шан династийн үеийн ламын ясан дээрээс олджээ)

МЭӨ 580 Thales of Miletus (“Геометрийн Эцэг”)

МЭӨ 530-450 Пифагорчууд (тооны онол,геометр,астрономи,хөгжим)

МЭӨ 450 Зеногийн хөдөлгөөний парадоксууд

МЭӨ 370 Еудокс (пропорцийн онол,астрономи, задлах арга)

МЭӨ 350 Аристотель (логик)

МЭӨ 320 Еудемусийн “History of Geometry” (тухайн үе дэх геометрийн тухай мэдлэгийн чухал нотолгоо), Энэтхэгт Аравтын тоолол

МЭӨ 300 Эвклидийн “Elements”

МЭӨ 250 Архимед (стереометр, квадратчлал, статик байдал, гидростатик, пи тооны ойролцоо утга)

МЭӨ 230 Эратосфен (Дэлхийн эзэлхүүний хэмжээ, Анхны тоог олох алгоритм)

МЭӨ 200 Апполоны “Conics” (конус биетийн тухай асар том, үр нөлөөтэй ажил)

МЭӨ 150 Хиппаркус (анх аккордын түвшнийг тооцоолов)

МЭӨ 100 Жиу Занг Суан Ши (“Математик үйл ажиллагааны есөн бүлэг”, эртний Хятадын хамгийн чухал математик текст)

60 Александриагийн Герон (оптик, геодези)

100 Менелейн “Spherics” (сфер тригонометр)

150 Птолемейн “Almagest” (нэр нөлөөтэй математик астрономийн текст)

250 Диофантийн “Arithmetica” (тодорхойлогчтой, тодорхойлогчгүй тэгшитгэлүүдийн шийдэл, эхэн үеийн алгебрийн тэмдэглэгээ)

300-400 Сун Зи (Үлдэгдлийн тухай Хятадын теорем)

320 Паппын “Collection” (тухайн үед мэдэгдэж байсан хамгийн чухал математик үр дүнгүүдийг нэгтгэн дүгнэж өргөтгөв)

370 Александриагийн Теон (Птолемейн “Almagest” дээр тайлбар, Эвклидийн засвар)

400 Александриагийн Гипатиа (Диофант, Аполлон, Птолемейн тайлбар)

450 Проклус (Эвклидийн 1р номны тайлбар, Еудемусийн “History of Geometry”-ын хураангуй)

500-510 “Aryabhatiya of Araybhata” (пи, язгуур дор 2, маш олон өнцгийн синусын ойролцоо утгуудын агуулсан Энэтхэгийн астрономийн судар)

510 Боетиус Грек хэл дээрхи ажлуудыг Латинруу хөрвүүлэв.

625 Ван Шиатонг (геометрээр илэрхийлэгдсэн куб тэгшитгэлийн тоон шийдэл)

628 Брахмагуптагийн “Brahmasphutasiddhanta” (астрономийн судар, Пеллийн гэж нэрлэгддэг тэгшитгэлийн анхны судлал)

710 Венерабле Беде (календарь тооцоолол, астрономи, үе)

830 Ал-Хваризмигийн “Algebra” (тэгшитгэлийн онол)

900 Абу Камил (квадрат тэгшитгэлийн иррациональ шийд)

970-990 Герберт д’Ауриллак Арабын математик техникүүдийг Европд танилцуулав

980 Абу ал-Вафа (орчин үеийн тригонометр функцүүдийг тооцоолсон гэж үздэг, синусын сфер хуулийг анх хэвлэв)

1000 Ибн ал-Хаятам (оптик, Алхазены бодлого)

1100 Омар Хаяам (куб тэгшитгэл, паралелийн постулат)

1100-1200 Араб хэлнээс Латин хэлрүү маш олон математик ажлууд орчуулагдав

1150 Бхаскарагийн “Лилавати” ба ”Бижаганита” (стандарт Санскрит уламжлалт арифметик ба алгебрийн сурах бичиг, сүүл хэсэгтээ Пеллийн тэгшитгэлийн дэлгэрэнгүй судалгааг агуулдаг)

1202 Фибаноччийн “Liber Abacci” (Хинду-Араб тооллыг Европд танилцуулав)

1270 Яанг Хуйгйин “Есөн Бүлэг дэх Математик Аргуудын Дэлгэрэнгүй Анализ” (11р зуунд Жиа Шианых гэж үздэг “Паскалийн гурвалжин”-тай адилхан диаграм агуулдаг)

1303 Жу Шижиегийн Сиюан Юужиан (“Дөрвөн мах бодийн эрхэм толь”; дөрвөөс олон хамааралтай тэгшитгэлүүдийг ялгах аргаар шийдсэн)

1330 Кинематикийн Мертон Сургууль, Оксфорд

1335 Хейтесбури дундаж-хурдны теоремыг гаргав.

1350 Оресме эхэн үеийн координатын геометрыг нээв, дундаж- хурдны теоремыг батлав, анх удаа бутархай зэрэг илтгэгч хэрэглэжээ.

1415 Брунеллеши хаяалбар геометрийн аргыг үзүүлэв

1464 Режиомонтанусийн “De Triangulis Omnimodis” (1533 онд хэвлэгдсэн, хавтгайн болон сфер тригонометрийн тухай Европын анхны иж бүрэн ажил)

1484 Чүкетийн “Triparty en la Science des Nombres” (тэг болон сөрөг зэрэг илтгэгч, биллион, триллион гэх мэт үгнүүдийг танилцуулжээ)

1489 Хэвлэлтэнд анх удаа “+”, “-” тэмдэгнүүдийг гаргав.

1494 Пачиолигийн “Summa de Arithmetica” (тухайн үед мэдэгдэж байсан бүх матемитикийн хураангуй, удахгүй гарах маш том дэвшилтийн суурийг тавив)

1525 Рудолфийн “Die Coss” (алгебрийн тэмдэглэгээг хэсэгчлэн хэрэглэв, язгуурын тэмдэгийг танилцуулав)

1525-28 Dюрер хаяалбар,тоон харьцаа болон геометр байгуулалтын тухай хэвлэв

1543 Коперникийн “De Revolutionibus” (гаригуудийн хөдөлгөөний нар төвтэй онолыг санал болгов)

1545 Карданы “Ars Magna” (гурав болон дөрвөн зэргийн тэгшитгэл)

1557 Рекордегийн “The Whetstone of Witte” (“=” тэмдэгийг танилцуулав)

1572 Бомбеллигийн “Algebra” (комплекс тоо)

1585 Стивиний “De Thiende” (аравтын бутархайг дэлгэрүүлэв)

1591 Виетийн “In Artem Analyticem Isagoge” (үл мэдэгдэхэд үсгийг хэрэглэв)

1609 Кеплерийн “Astronomia Nova” (гаригуудын хөдөлгөөний Кеплерийн нэг, хоёрдугаар хууль)

1610 Галилеогийн “Sidereus Nuncius” (өөрийхөө телескопоор нээсэн Юпитерийн дөрвөн сар гэх мэт нээлтээ тайлбарлав)

1614 Напиерийн “Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio” (анхны логарифм хүснэгт)

1619 Кеплерийн “Harmonice Mundi” (Кеплерийн гуравдугаар хууль)

1621 Диофантийн “Arithmetica”-ийн Бачетийн орчуулга хэвлэгдэв

1624 Бриггсийн “Arithmetica Logarithmica” (арав суурьтай логарифм хүснэгтийг анх хэвлэсэн ном)

1631 Харриотын “Artis Analyticae Praxis” (тэгшитгэлийн онол)

1632 Галилеогийн “Dialogue Concerning the Two Chief World Systems” (Птолемейн болон Коперникийн онолуудын харьцуулалт)

1637 Декартын “La Geometrie” (алгебрлаг утгаархи геометр)

1638 Галилеогийн “Discourses-Concerning Two New Sciences” (физикийн бодлогуудын системтэй математик судлал). Ферма Диофантийн “Arithmetica”-ийн Бачетийн хувилбарыг судалсан ба Фермагийн Их Теоремыг таамаглав.

1642 Паскал тоог нэмдэг машиныг бүтээв.

1654 Ферма ба Паскал магадлалын онол дээр бичиг цаасаар харилцав. Паскалийн “Traite du Triangle Arithmetique”.

1656 Валлисын “Arithmetica Infinitorum” (муруйн доорхи талбай, 4-ыг хуваах нь пи тооны үржвэр томьёо, тасралтгүй бутархайн системтэй судалгаа)

1657 Хьюгены “Ratiocinii in Aleae Ludo” (магадлалт тоглоомуудын шинжлэл)

1664-72 Ньютоны анализ дахь эхэн үеийн ажил

1678 Хүүкегийн “De Potentia Restitutiva” (уян хатан чанарыг томьёогоор илэрхийлэв)

1683 Секигийн “Kaifukudai no hou” (тодорхойлогчийн ухагдахуунуудыг тодорхойлох үйл явц)

1684 Лейбницийн анализын анхны хэвлэлт

1687 Ньютоны “Principia” (Ньютоны хөдөлгөөн болон таталцлын хуулиуд, сонгодог механикийн суурь, Кеплерийн хуулиудын гарал үүсэл)

1690 Бернуллын анализ дахь эхэн үеийн ажил

1696 Лопиталийн “Analyse des Infiniment Petits” (анхны анализын сурах бичиг). Жакоб Бернулль, Иоханн Бернулль, Ньютон, Лейбниц болон Лопиталаар брахистохроний бодлогын бодолт (олон хувьсагчын анализын эхлэл).

1704 Ньютоны “De Duadratura” (Ньютоны анализын эхний хэвлэлт дээр Оптикыг нэмсэн)

1706 Жонес тойргийн уртыг түүний диаметрт хуваасан харьцааг пи гэж тэмдэглэхийг санал оруулав.

1713 Жакоб Бернуллийн “Ars Conjectandi” (магадлалын онолд олдсон ажил)

1715 Тейлорын “Methodus Incrementorum” (Тейлорын теорем)

1727-1777 Эйлер экспоненциал функцд “е” (1727), функцуудад “f(x)” (1734), нийлбэрт “Σ” (1755), язгуур доор -1 –д “i” (1777) гэсэн тэмдэглэгээнүүдийг оруулж ирэв.

1734 Беркелейгийн “The Analyst” (төгсгөлгүй бага хэмжигдэхүүнийг хэрэглэх үндсэн дайралт)

1735 Эйлер Баселийн бодлогыг шийдэж, Σ(1/n^2)= π^2/6 гэж батлав.

1736 Эйлер Конигсбергийн гүүрний бодлогыг шийдэв.

1737 Эйлерийн “Varie observations circa series infinitis” (Эйлерийн үржвэр)

1738 Даниел Бернуллийн “Hydrodynamica” (даралтан дахь шингэний урсгалд хамаарна)

1742 Голдбахын таамаглал (Эйлерт бичсэн захианд агуулагдсан). Маклаураны “Treatise of Fluxions” (Беркелейгийн дайралтын эсрэг Ньютоны хамгаалалт)

1743 Даламберийн “Traite de Dynamique” (Даламберийн зарчим)

1744 Эйлерийн “Methodus Inveniendi Lineas Curvas” (олон хувьсагчийн анализ)

1747 Эйлер квадратлаг уялдааны хуулийг гаргав. Даламбер хэлбэлзэх утасны хөдөлгөөний хуулийг нээх нэг- хэмжээст долгионы тэгшитгэлийг үүсгэв.

1748 Эйлерийн “Introductio in Analysin Infinitorum” (функцийн үзэл баримтлалын удиртгал, e^iθ=cos(θ)+i*sin(θ), өөр маш маш олон зүйлс)

1750-52 Олон талстын Эйлерийн томьёо

1757 Эйлерийн “Principes generaux du movement des fluides” (Эйлерийн тэгшитгэл, орчин үеийн гидродинамикийн эхлэл)

1763 Байесийн “”An Essay towards Solving a Problem in the Doctrine of Chances” (Байесийн теорем)

1771 Лагранжийн “Reflections sur la resolution algebrique des equations” (тэгшитгэлийн онолд коджуулсан ажил, бүлгийн онолын урьдчилсан тэмдэг)

1788 Лагранжийн “Mechanique Analitique” (Лагранжийн механик дахь чиг шугам)

1795 Монгегийн “Application de l’Analyse a la Geometrie” (диффириенциал геометр) болон “Geometrie Descriptive” (проектив геометрийг бүтээх ач холбогдол)

1796 Гаусс зөв 17 өнцөгтийг гортиг, шугамаар байгуулав.

1797 Лагранжийн “Theorie des Fonctions Analytiques” (функцийг зэрэгт цуваагаар судлах үндсэн судалгаа)

1798 Лежендрийн “Theorie des Nombres” (Тооны онолд зориулсан анхны ном)

1799 Гаусс “Алгебрийн үндсэн теорем”-ийг батлав.

1799-1825 Лапласийн “Traite de la Mecanique Celeste” (огторгуйн болон гаригын механикийн бүрэн эрхтэй нотолгоо)

1801 Гауссын “Disquisitiones Arithmeticae” (модулар арифметик, квадратлаг уялдааны хуулийн анхны бүрэн баталгаа, тооны онол дахь өөр олон үндсэн үр дүнгүүд болон ухагдахуунууд)

1805 Лежендрийн хамгийн бага квадратын арга

1809 Гаусс огторгуйн хөдөлгөөн

1812 Лапласын “Theorie Analytique des Probabilities” (магадлалын онол дахь маш олон шинэ ухагдахуунууд, үүнд магадлалын үүсгэгч функц болон хязгаарын үндсэн теорем орно)

1814 Сервоис “коммутатив” болон “дистрибьютив” гэсэн нэр томьёог сэдэв.

1815 Коши орлуулгын бүлэг дээр ажиллав.

1817 Болцаногийн дундаж утгын теоремын эхний хувилбар

1821 Кошийн “Cours d’Analyse” (Анализын нарийн чанд байдал дахь үндсэн тус нэмэр)

1822 Фурьегийн “Theorie Analytique de la Chaleur” (Фурьегийн цуваа хэвлэлтэнд анх үзэгдэв). Пончелетийн “Traite des Proprietes Projective Resume des Figures” (проектив геометрийн дахин нээлт).

1823 Навьер одоо Навьер-Стоксийн тэгшитгэл гэж нэрлэгддэг тэгшитгэлийг томьёоллоо. Кошийн “Resume des Lecons sur le Calcul Infinitesimal”.

1825 Кошийн интеграл теорем

1826 “Journal fur die reine und angewandte Mathematik” (өөрөөр бас Креллийн сэтгүүл гэдэг, математикийн анхны мэргэшсэн сэтгүүл бөгөөд өнөөдөр ч гэсэн чухал хэвээр байна, Германд хэвлэгдсэн). Абел таван зэргийн тэгшитгэл радикалаар шийдэгдэхгүй гэдгийг батлав.

1827 Амперийн электродинамикийн хууль. Гауссын “Disquisitiones Generals Circa Superficies Curva” (Гауссын муруйлт, Theorema Egregium). Омын цахилгааны хууль.

1828 Грийний теорем

1829 Дирихлей Фурьегийн цувааны нийлэлтийг батлав. Штурмийн теорем. Лобачевскийн Эвклидийн бус геометр. Жакобигийн “Fundemanta Nova Theoriae Functionum Ellipticarum” (эллиптик функцуудын түлхүүр ажил).

1830-32 Галуагийн олон гишүүнт тэгшитгэл радикалаар шийдэгдэх тухай системтэй судалгаа болон бүлгийн онолын эхлэл.

1832 Больяагийн Эвклидийн бус геометр.

1836 “Journal de Mathematiques Pures et Appliquees” (өөрөөр бас Льювиллийн сэтгүүл гэдэг, математикийн мэргэшсэн сэтгүүл бөгөөд өнөөдөр ч гэсэн чухал хэвээр байна, Францад хэвлэгдсэн).

1836-1837 Штурм болон Льювилл нар Штурм-Льювиллийн онолыг бүтээв.

1837 Дирихлейн арифметик прогресст төгсгөлгүй олон анхны тоо агуулагдах теорем. Пуассоны “Receheres sur la Probabilite des Jugements” (Пуассоны тархалт; “том тооны хууль” гэсэн хэллэгийг сэдэв).

1841 Жакобьяан тодорхойлогч

1843 Гамилтон кватернионыг нээв.

1844 Грассманы “Ausdehnungslehre” (давхар шугаман алгебр). Клейгийн инвариант дээрхи эхэн үеийн ажил.

1846 Чебышев том тоонуудын хуулийн сул хувилбарыг батлав.

1851 Риманны “Grundlagen fur eine Theorie der Funktionen einer veranderlichen complexen Grosse” (Коши-Риманны тэгшитгэлүүд, Риманны гадаргуу).

 

1854 Клейн бүлгийн абстракт тодорхойлолт. Бүүлийн “Laws of Thought” (алгебрлаг логик). Чебышьевын олон гишүүнт.

1856-58 Дедекинд Галуагын онолд анхны курсыг гаргав.

1858 Клейн “Memoir on the theory of matrices”. Мёобьюсын тууз.

1859 Риманны гипотез.

1863-90 Вейрштрассийн анализ дахь лекц нь орчин үеийн “эпсилон-делта” арга замыг дэлгэрүүлэв.

1864 Риманн-Рош теорем

1868 Плюккерийн “Neue Geometrie des Raumes” (шулууны геометр). Белтрамийн Эвклидийн биш геометр. Горданы бинар-форм дэх теорем.

1869-1873 Ли тасралтгүй бүлгүүдийн онолыг хөгжүүлэв.

1870 Бенжамин Пьерсигийн “Шугаман Ассоциатив Алгебр”. Жорданы “Traite des Substitutions et des Equations Algebriques” (бүлгүүд дэх ажил).

1871 Дедекинд орчин үеийн талбар, цагариг, модуль, идеал гэсэн ойлголтуудыг танилцуулав.

1872 Клейний “Erlanger Programm”. Силовын бүлгийн онол дахь теоремууд. Дедекиндийн “Stetigkeit und Irrationale Zahlen” (катууд хэрэглэн бодит тоон олонлогийн байгуулсан).

1873 Максвеллийн “Treatise on Electricity and Magnetism” (цахилгаан соронзон талбарын онол, гэрлийн цахилгаан соронзон онол, Максвеллийн тэгшитгэлүүд). Клиффордын бикватернионууд. Эрмит e тоог трансцендат гэж батлав.

1874 Кантор төгсгөлгүй нь ялгаатай хэмжээнүүдтэй гэдгийг нээв.

1877-78 Рлейгийн “Theory of Sound” (орчин үеийн дууны онолыг нээсэн ажил).

1878 Кантор континуумын гипотезыг гаргав.

1881-84 Гиббын “Elements of Vector Analysis” (вектор тооцооллын үндсэн ухагдахуунууд).

1882 Линдеманн пи тоог трансцендат гэж батлав.

1884 Фрегегийн “Grundlagen der Arithmetik” (математикт суурь тавих чухал ородлого).

1887 Жорданы муруйн теорем.

1888 Гильбертийн төггсгөлөг суурийн теорем.

1889 Пианогийн натурал тоонууд дээрхи постулат.

1890 Пуанкарегийн “Sur le problem des trois corps et les equitions de la dynamique” (динамик систем дэх эмх замбараагүй үйл явцын анхны математик тайлбар).

1890-1905 Шродерийн “Vorlesungen uber die Algebra der Logik” (орчин үеийн торны онолд чухал Дуалгруппийн ухагдахууныг агуулсан).

1895 Пуанкарегийн “Analysis situs” (ерөнхий топологийн анхны системтэй өгүүлэл; алгебрлаг топологийн суурь).

1895-1897 Канторын “Beitrage zur Begrundung der transfiniten Mengenlehre” (трансфинит кардинал тоонуудын системтэй чухал чанар).

1896 Фробениус дүрслэлийн онолыг нээв. Адамард болон де ла Валлее-Пуассон нар анхны тооны теоремийг батлав. Гилбертийн Zahlbericht (орчин үеийн алгебрлаг тооны онолыг эмхлэсэн үндсэн ажил).

1897 Цурихд анхны олон улсын математикчидын конгресс. Хенсел p-adic тоонуудыг танилцуулав.

1899 Гильбертийн “Grundlagen der Geometrie” (Эвклидийн геометрийн орчин үеийн хатуу чанга аксиомчлал).

1900 Гильберт Парис дахь олон улсын математикчидын хоёрдугаар конгресс дээр 23 бодлогоо тавив.

1901 Рикки ба Леви-Сивита нарын “Methodes du Calcul Differential Absolut et leurs Applications” (тензур калкулус).

1902 Лебегийн “Integrale, Longeure, Aire” (Лебегийн интеграл).

1903 Рушиллийн парадокс.

1904 Цермелогийн сонголтын аксиом.

1905 Эйнштейний харьцангуйн тусгай онол хэвлэгдэв.

1910-13 Вайтхэйд а Рушилл нарын “Principia Mathematica” (олонлогын онолын парадоксуудаас ангид математикийн сууриуд).

1914 Хаусдорффийн “Grundzuge der Mengenlehre” (топологи огторгуйнууд).

1915 Эйнштэйн харьцангуйн ерөнхий онолын тодорхой хувилбарын ажлаа гаргав.

1916 Биебербахын таамаглал.

1917-18 Фату ба Жулиа цогцууд (рационал функцуудын давталт).

1920 Такаги оршин байх теорем (Абелийн класс талбарын онол дахь үндсэн ажил).

1921 Нёотерийн “Idealtheorie in Ringbereichen” (цагиргуудын абстракт онолын хөгжилт дэх үндсэн алхам).

1923 Виенер Брауны хөдөлгөөний математик онолыг гаргав.

1924 Курант ба Гильбертийн “Methoden der mathematischen Physik” (дараа нь мэдэгдсэн математик физик дэх чухал аргуудын товч).

1925 Фишерийн “Statistical Methods for Research Workers” (орчин үеийн статистикийн суурь ажил). Эйзенбергийн механик матриц (квант механикийн анхны боловсруулалт). Вейлийн характер томьёо (компакт Ли алгебрийн дүрслэлийн онол дахь суурь үр дүн).

1926 Шрёдингерийн долгионы механик (квант механикийн хоёр дахь боловсруулалт).

1927 Петр ба Вейлийн “Die Vollstandigkeit der primitive Darstellungen einer geschlossenen kontinuierlichen Gruppe” (орчин үеийн гармоник анализийн төрөлт). Артины өргөтгөсөн уялдааны хууль.

Та үүнийг мэдэх үү?

Та үүнийг мэдэх үү?

1. Яг таван ширхэг зөв олон талст байдаг. Ихэнхи хүмүүс маш олон зөв олон талст байдаг гэсэн буруу бодолтой.
2. Гортиг, шугамаар байгуулж болох бүхнийг зөвхөн гортигоор байгуулж болно.
3. Адилхан периметртэй дүрсүүд дотроос тойрог хамгийн их талбайтай.
4. Хүмүүстэй адилаар иррациональ, төгс, комплекс тоонууд бий.
5. Философи шиг трансцендентал тоо бий.
6. Урлаг шиг хуурмаг (imaginary) болон сурреал (surreal) тоонууд байдаг.
7. Шулууны хэмжээс 1, хавтгайнх 2. Фрактал дүрснүүдийн ихэнхи нь бутархай (fractional) хэмжээстэй.
8. Математикийг та сонирхолтой биш гэж боддог бол таны буруу.
9. Математикт орчин,бүлэг болон чөлөөт бүлэг, цагиргууд, идеалууд, нүхнүүд, туйлууд, моднууд, өсөлт гэх мэтийг судалдаг.
10. Бас математикт моделууд, дүрсүүд, муруйнууд, кардиналууд, төсөө, эрэмбийн харьцаа, гүйцээлт, олгторгуйнууд гэх мэт маш олон зүйлсийг судална.
11. Бялууг 3 зүсэлтээр 8 хувааж болно.
12. 0!=1
13. Хаосд ч гэсэн эрэмбэ бий.
14. Тал болгонд нь 5 хүн байхаар 10 хүнээр квадрат цайзыг хамгаалуулж болно.
15. Та дурын урттай дэс дараалсан зохиомол тоонуудын дарааллыг олж болно.
16. Комплекс тооны комплекс тоон зэрэг бодит байж болно. Санаж байгаа бол i-ийн i зэрэгт шиг.
17. Иррациональ тооны иррациональ зэрэгт рациональ байж болно.
18. 1/3+1/4=7/12
19. Σ2^(-n) = Σn•2^(-n)
20. Дараагийн өгүүлбэр үнэн гэхдээ та итгэхгүй байх.
21. Өмнөх өгүүлбэр худлаа.

Нууцыг хадгалахаар тангараг өргөсөн “тоог шүтэгч” эртний нийгэмлэг

Пифагор МЭӨ 580 оны орчим Грекийн Самос арал дээр төржээ. Тэр эртний ертөнцийн ихэнхээр аялсан бөгөөд Вавилон, Египт магадгүй Энэтхэгт зочилсон. Тэр аялалаараа, ялангуяа Вавилонд математикчидтай холбогдож тэдний тоонуудын талаархи судлагааг мэдэж авч байлаа. Одоо Пифагорын нэрээр нэрлэгдсэн Пифагорын гурвалыг тухайн үед Вавилончууд мэдээд 1500 жил болсон байжээ. Пифагор урлаг болон архитектурын гайхамшигт бүтээлүүдийг бүтээгчидтэй мөн харилцаж байсан ба эдгээр гайхамшигуудын математик чанарууд нь Пифагорыг эзэмджээ. Пифагор мөн аяллаараа шашны болоод философи санаануудыг Баруунд авчиржээ.
Пифагор Грект буцаж ирээд Самос арлаа орхин Италийн “гутал” Кротонруу нүүжээ. Сонирхуулахад Пифагор Эртний Ертөнцийн Долоон Гайхамшигийн ихэнхийг маргаангүй үзсэн юм. Эдгээр гайхамшигуудын нэг Херагийн Сүм нь Пифагорын төрсөн Самосын барууханд байдаг. Өнөөдөр арлын цуутай хүү Пифагорын нэрээр нэрлэгдсэн Пифагор тосгоноос хэдхэн алхаад байх гайхалтай энэ сүмийн нурангид зуу зуун багануудаас нь ганцхан нь үлдэж иржээ. Гарц гараад хойшоо хэдхэн милд, одоогийн Туркийн нутагт эртний Ефесийн үлдэгдэлд гайхамшигуудын өөр нэг нь бий. Самосоос урагшаа ойрхон Родесийн Колоссус (Colossus of Rhodes) байдаг; Египтийн Пирамидууд ба Сфинксийг Пифагор харсан ба Вавилонд тэр Дүүжин Цэцэрлэгийг харсан нь гарцаагүй юм.

Италийн эзэнгүй хоосон газарт Пифагор тоонуудыг судлах зорилготой нууц нийгэмлэгийг байгуулсан юм. Энэхүү нийгэмлэгийн гишүүдийг Пифагорчууд гэдэг бөгөөд тэд математик мэдлэгийн томоохон биеийг хөгжүүлсэн гэж итгэгддэг – энэ бүгд нь маш нууц байв. Пифагорчууд “тоо бол бүх зүйл” гэсэн тэдний уриагаар товчилж болохуйц философийн дагуу амьдарч байжээ. Тэд тоонуудыг шүтдэг байсан бөгөөд тэдгээрт ид шидийн чанарууд бий гэдэгт итгэдэг байв. Тэд “төгс” тоог маш их сонирхдог байжээ. Төгс тооны тухай тодорхойлолт, үзэл санаа нь Дундад зуунд үргэлжлүүлэн судлагдаж байсан ба Еврейн Каббала гэх мэт нууцлаг системүүдэд харагддаг юм. Төгс тоо гэдэг нь тухайн тоо өөрөөсөө ялгаатай бүх хуваагчдынхаа нийлбэртэй тэнцүү байхыг хэлдэг. Төгс тооны хамгийн сайн бас энгийн жишээ бол 6 юм. Зургаагын хуваагчид нь 1,2,3 бөгөөд эдгээрийн нийлбэр мөн зургаа гарна. (6=1*2*3=1+2+3). Иймээс зургаа бол төгс юм. 28 бол бас өөр нэг төгс тоо. 28 ийн хуваагчид (өөрөөс нь ялгаатай) 1, 2, 4, 7, 14 ба эдгээрийн нийлбэр бас 28 гарна.
Пифагорчууд даяанч амьдралын хэв маягтай байсан бөгөөд хатуу чанга цагаан хоолтнууд байв. Гэхдээ тэд шошыг иддэггүй яагаад гэвэл шош нь төмсөгийг санагдуулдаг гэж тэд үздэг байв. Тэдний тоонуудын талаархи үзэл санаа нь шашны холбоотой бөгөөд хатуу чанга цагаан хооллолт нь ч гэсэн шашинлаг итгэлээс үүдэлтэй юм. Пифагорын амьдарч байсан тухайн үеийн баримт бичгүүдээс үлдээгүй боловч мастер болон дагалдагчидынх нь тухай асар их ном зохиол бий бөгөөд Пифагорыг эртний ертөнцийн сод математичдын нэг гэдгийг харуулдаг. Түүнтэй салшгүй холбоотой, тэгш өнцөгт гурвалжны талуудын тухай Пифагорын Теорем нь Пифагорын Гуравтуудыг бий болгодог бөгөөд 2000 жилийн дараах Фермагийн Их Теоремыг эцсийн үр дүндээ гаргажээ.

Эртний Вавилон болон Египтэд мэддэг байсан бүхэл тоонууд, рациональ тоонуудаас илүү ихийг Пифагорчууд мэддэг байжээ. Пифагорчууд иррациональ тоонуудыг нээсэн юм. Иррациональ тоо гэдэг нь хоёр бүхэл тооны ноогдвор хэлбэрт тавигдахгүй буюу аравтын бичлэг нь төгсгөлгүй, үегүйгээр үргэлжилдэг тоо юм. Ийм тооны нэг жишээ нь тойргийн уртыг түүний диаметрт харьцуулсан харьцаа буюу пи (3,141592654…) тоо юм. Пи тоог бичье гэвэл бидэнд ямар ч цаас хүрэлцэхгүй, төгсгөлгүй үегүйгээр үргэлжлэх тул бид π эсвэл 3.14, 3.1415 гэх мэт төгсгөлөг орны нарийвчлалаар бичиж заншжээ. Өнөө үед компьютер тооцоо хийхийн тулд пи тоог сая эсвэл түүнээс олон орны нарийвчлалтайгаар хэрэглэдэг. МЭӨ хоёр дахь мянганд Вавилон болон Египтэд пи тоог олон янзын нарийвчлалтайгаар мэддэг байжээ. Тэд барагцаагаар 3 гэж үздэг байсан бөгөөд энэ нь дугуйг нээсэн нээлтээс үүсэн гарчээ. Пи тоо нь бүр Хуучин Гэрээст дурдагддаг юм: Хаадын Дээд 7:23 дээрээс бид баригдсан тойрог хэлбэртэй цутгамал тэнгисийн тухай уншиж чадах бөгөөд энд өгөгдсөн тойргын урт болон диаметрийн харьцаанаас эртний Израйльчууд пи тоог ойролцоогоор гурав гэж үздэг байсныг олж мэдэж болно.
Пифагорчууд нь мөн язгуурын доорхи хоёр иррациональ тоо гэдгийг нээжээ. Хэрвээ бид Пифагорийн Теорем хэрэглэвэл хоёр катет нь тэнцүү нэг урттай тэгш өнцөгт гурвалжны гипотенуз нь хачин язгуур доор хоёр урттай гэдгийг мэдэж болно. Тэд энэ хачин тоо нь бүхэл тоо ч биш, бүр рациональ тоо ч биш гэдгийг баталж чадсан. Өөрөөр хэлбэл энэ тоо нь төгсгөлгүй, үегүйгээр бичигдэх хэрэгтэй билээ. Энэхүү язгуур доор хоёрын иррациональ хэмээх нээлт нь эдгээр тоог шүтэгчдийг алмайруулж шоконд оруулсан бөгөөд тэдний хэн нь ч нийгэмлэгээс гадагш үүний тухай ярихгүй гэж тангараг өргөжээ. Гэвч энэ тухай үг гадагш гарсан юм. Домгоор бол хачин, иррациональ тоонууд оршин байхыг гадагш зарласан нийгэмлэгийн гишүүнийг Пифагор өөрөө живүүлж алсан гэдэг.
Бодит тоон шулуун дээрхи тоонууд нь рациональ, иррациональ гэсэн хоёр төрөлд хуваагддаг. Эдгээр хоёр төрлийн тоонууд нь хамтдаа бодит тоон шулууныг ямар ч зай завсаргүйгээр бөглөнө. Мөн энэ хоёр төрлийн тоонууд нь бие биедээ маш маш (төгсгөлгүй) ойрхон. Иймээс рациональ тоонууд нь бодит тоон олонлогт хаа сайгүй нягт юм. Өөрөөр хэлбэл рациональ тооны өчүүхэн бага интервал, ямар ч бага орчин авахад энэ нь төгсгөлгүй олон иррациональ тоог агуулах болно. Мөн урвуугаар, иррациональ тооны өчүүхэн бага интервал, ямар ч бага орчин авахад энэ нь төгсгөлгүй олон рациональ тоог агуулна. Рациональ болон иррациональ тоон олонлог нь хоёулаа төгсгөлгүй юм. Гэхдээ иррациональ тоонууд нь рациональ тоонуудаас илүү олон юм. Энэхүү баримтыг 1800аад онд Жеорж Кантор (1845-1918) баталсан юм. Түүний гол дайсан Леополд Кронеккер (1823-1891) Канторыг түүний теоремуудын тухай хичнээн рациональ, иррациональ тоо тэгээд байнадаа хэмээн муу хэлж, доог тохуу хийж байв. Кронеккер өөрийхөө “Бурхан бүхэл тоонуудыг бүтээжээ, бусад бүгд нь хүмүүсийн ажил” гэсэн тунхаглалаараа алдартай бөгөөд энэ нь түүний иррациональ тоонуудад итгэдэггүй байсныг харуулдаг (бүр Пифагорчуудаас хойш 2000 жилийн дараа). Кронеккерийн энэхүү дайсагнал нь Канторыг нэр хүндтэй Берлиний Их Сургуулиас профессорын цол авахыг болиулсан бөгөөд эцэс сүүлд нь Кантор байнга ухаан мэдрэлээ алдах өвчнөөр өвдөж, оюун ухааны тогтворгүй байдлын учраас гуйлгачдыг асрах газарт нас баржээ. Өнөөдөр бүх математикчид иррациональ тоонууд нь рациональ тоонуудаас илүү олон бий гэдгийг (энэхүү хоёр олонлог төгсгөлгүй боловч) мэддэг.

Пифагорчуудын амьдралын чухал тал болох тэдний хооллолтын дүрмүүд, тоог шүтэх шүтлэг, нууц цуглаанууд болон ёс заншлууд нь математик болон философийг ёс суртахуунд суурилж судлан мөшгөх зүйл байжээ. Пифагор өөрөө философи гэдэг үгийг мэргэн ухааныг хайрлах ба математик гэдгээр анх бодож олсон гэж үздэг. Пифагор математикийн шинжлэх ухааныг боловсролын либерал хэлбэрлүү анх шилжүүлжээ.
Пифагор МЭӨ 500 оны орчим үхсэн бөгөөд түүний ажлуудаас үлдэж хоцроогүй юм. Түүний Кротона дахь төвийг атаат дайсан улс төрийн бүлэглэл Сибаритикүүд устгасан бөгөөд нийгэмлэгийн ихэнхи гишүүдрүү гэнэт дайран алжээ. Үлдсэн гишүүд нь Газрын дундад тэнгисийн орчим Грек ертөнцөөр тархахдаа тэдний философи, тооны шид тарнийг хамт авч явж байв. Эдгээр дүрвэгсдээс математик философи судлагсдын нэг нь Тарентум хотын Филолаос байсан бөгөөд тэр энэ хотод Пифагорчуудын байгуулсан шинэ төвд суралцдаг байжээ. Филолаос бол Пифагорчуудын хэв журмын түүх, онолуудыг анх удаа бичсэн философич юм. Филолаосын бичсэн энэ номноос Платон Пифагорчуудын тооны философи, сансар огторгуй судлал, ид шидийг сурсан бөгөөд дараа нь энэ тухай өөрөө бичжээ. Пифагорчуудын хэв журмын чухал бэлэг тэмдэг бол таван өнцөгт доторхи таван хошуу од байв (зураг1). Таван өнцөгтийн диагоналиуд огтлолцохдоо урвуу харсан жижиг таван өнцөгт үүсгэх бөгөөд энэ үүссэн жижиг таван өнцөгтийн диагоналиуд бас таван өнцөгт үүсгэнэ гэх мэт төгсгөлгүй үргэлжлэнэ. Энэ таван өнцөгт болон түүний диагоналиудаар үүссэн таван хошуу нь зарим гайхалтай шинж чанаруудтай бөгөөд үүнийг ид шид гэдэгт Пифагочууд итгэдэг байв. Диагоналиуд нь огтлолцолынхоо цэгүүдээр хоёр ялгаатай урттай хэсгүүдэд хуваагдана. Диоганалийн уртыг түүний хуваагдсан том хэсгийн уртад харьцуулсан нь том хэсгийн уртыг жижиг хэсгийн уртад харьцуулсантай тэнцүү. Энэ харьцааг Алтан Огтлол гэдэг. Энэ нь иррациональ тоо бөгөөд 1,618…-тай тэнцүү. Хэрвээ нэгийг алтан огтлолд хуваавал энэ нь алтан огтлолоос нэгийг хассантай тэнцүү буюу 0,618… гарна. Алтан огтлол нь мөн байгальд түгээмэл тааралддаг бөгөөд хүний нүдээр үзэсгэлэнтэй харагддаг харьцаа юм. Мөн Алтан огтлол нь алдартай Фибаноччийн тоонуудын харьцааны хязгаар билээ. Пифагорчууд мөн хөгжим дэх зохилдлого нь энгийн тоонуудын харьцаатай адилхан байдгыг нээсэн юм. Аристотелийн үзсэнээр Пифагорчууд тэнгэрийн бүхэн хөгжмийн өнгө ба тоонууд гэдэгт итгэдэг байжээ. Хөгжмийн зохилдлого болон геометр дизайн нь Пифагорчуудад “Бүх зүйл бол тоо” гэсэн тэдний итгэлийг бий болгосон байна. Пифагорчууд хөгжим дэх үндсэн харьцаанууд нь зөвхөн 1,2,3,4 гэсэн тоонуудад хамрагддаг гэж боддог байв. 1,2,3,4 тоонуудын нийлбэр 10 бөгөөд энэ нь бидний хэрэглэдэг тоон системийн суурь юм. Пифагорчууд 10ын тоог гурвалжинаар дүрсэлдэг байсан бөгөөд үүнийгээ тэд “tetraktys” (зураг 2) гэж нэрлэдэг байжээ. Пифагорчууд tetraktys-ийг ариун гэж үздэг байсан бөгөөд үүгээрээ андгай тангараг өргөдөг байв. Үүнтэй уялдуулахад Аристотель, Овид гэх мэт сонгодог бичээчдийн дагуу бол хүн арван хуруутай учраас арвын тоо нь үндсэн тооллын системийн сууриар сонгогдсон гэж үздэг. Нөгөө талаас Вавилончууд 60тын тооллын систем хэрэглэдэг байсан юм. Өнөөдөр ч гэсэн зарим өөр тооллын системүүдийн ул мөр байсаар байдаг. Франц хэлэнд 80-ыг quatre-vingt гэдэг бөгөөд энэ нь дөрвөн хорь гэсэн утгатай бөгөөд эртний хорьтын тооллын системийн улбаа юм. Мөн 12 жил гэх мэт арван хоёртын тооллын системийн улбаа байна.534861_373883536059110_2030984091_n 526556_373883562725774_1971602771_n

Дөрвөн аялагчийн бодлого

Дөрвөн аялагчийн бодлого

Бодлого:

Хавтгайд 4н ерөнхий байршилтай (аль ч хоёр нь паралель биш, аль ч гурав нь нэг цэгт огтлолцоогүй) шулуун зам өгөгджээ. Зам бүр дээр тогтмол хурдтай нэг нэг аялагч явж байв. Аялагчдын хурд ялгаатай байж болно. Аялагч #1 нь аялагч #2, аялагч #3, аялагч #4-тэй уулзсан гэдэг нь мэдэгдэж байв. Аялагч #2 нь мөн аялагч #3, аялагч #4 мэдээж аялагч #1-тэй уулзсан бол аялагч #3 нь аялагч #4-тэй уулзсан гэж батал.

Бодолт:

Бодолтын гол санаа: Тогтмол хөдөлгөөний граф шулуун байна.

4н шулуун замаа l_1, l_2, l_3, l_4 гэж тэмдэглэе. Эдгээр замууд орших хавтгайд перпендикуляр хугацааны тэнхлэг татаж координатын систем байгуулаад хүмүүсийн хөдөлгөөний графийг дүрсэлсэн гэж төсөөлье. #1 хүний хөдөлгөөний графыг M_1, #2 хүний хөдөлгөөний графыг M_2, #3 хүний хөдөлгөөний графыг M_3, #4 хүний хөдөлгөөний графыг M_4 гэж тэмдэглэе (Тогтмол хурдтай тул бүгд шулуун байна). M_i-ийн проекц l_i гарах нь ойлгомжтой.

P=(x,y,t) цэг M_i -д орших ГХН (Гарцаагүй бөгөөд Хүрэлцээтэй Нөхцөл) нь:

1. Q(x,y) нь l_i -д орших
2. #i-р хүн t хугацаанд Q цэгийг дайрах явдал юм гэдэг нь илт.

#1 хүн #2 хүн уулзсан тул M_1 ба M_2 огтлолцоно (Огтлолцсон 2 шулуун цор ганц хавтгайг үүсгэнэ). #3 хүн #1, #2 хүмүүстэй уулзсан тул M_3 шулуун M_1 , M_2-тэй нэг хавтгайд оршино. Үүнтэй адилаар M_4 бас M_1 , M_2-тэй нэг хавтгайд оршино. Өөрөөр хэлбэл M_1,M_2, M_3, M_4 бүгд нэг хавтгайд оршино. Нөгөө талаас l_3, l_4 паралель биш тул M_3, M_4 паралель биш байх ба заавал огтлолцоно (Энэ 2 шулуун 1 хавтгайд байгаа). Иймд #3 нь аялагч #4-тэй уулзах нь батлагдлаа.